第二讲 椭圆、双曲线、抛物线研热点（聚焦突破）类型一 椭圆1．定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．2．标准方程：焦点在 x 轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点在 y 轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点不确定：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．3．离心率：e＝＝<1.4．过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.[例 1] (2012 年高考安徽卷)如图，点 F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P，过点 F2作直线 PF2的垂线交直线 x＝于点 Q.(1)如果点 Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆 C 的方程；(2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点．[解析] 解法一 由条件知，P(－c，)，故直线 PF2的斜率为 kPF2＝＝－.因为 PF2⊥F2Q，所以直线 F2Q 的方程为y＝x－，故 Q(，2a)．由题设知，＝4，2a＝4，解得 a＝2，c＝1.故椭圆方程为＋＝1.解法二 设直线 x＝与 x 轴交于点 M.由条件知，P(－c，)．因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝，即＝，解得|MQ|＝2a.所以解得故椭圆方程为＋＝1.(2)证明：直线 PQ 的方程为＝，即 y＝x＋a.将上式代入＋＝1 得 x2＋2cx＋c2＝0，解得 x＝－c，y＝.所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点．1跟踪训练1．已知圆 M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为 2，椭圆 C：＋＝1 的左焦点为 F(－c，0)，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切，则 a 的值为( )A. B．1 C．2 D．4解析：圆 M 的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得 m2＋3＝4，即 m2＝1(m<0)，∴m＝－1，则圆心 M的坐标为(1，0)．由题意知直线 l 的方程为 x＝－c，又 直线 l 与圆 M 相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C2．(2012 年山东师大附中一测)点 P 是椭圆＋＝1 上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2的内切圆半径为 1，当 P 点在第一象限时，P 点的纵坐标为( )A. B. C. D.解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，设点 P 的纵坐标为 yp，由题意易知 S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×1＝|F1F2|·yp，所以 yp＝＋1＝.答案：A类型二 双曲线1．定义式：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．2．标准方程焦点在 x 轴上：－＝1(a>0，b>0)，焦点在 y 轴上：－＝1(a>0，b>0)，焦点不明确：mx2＋ny2＝1(mn<0)．3．离心率与渐近线问题(1)焦点到渐近线的距离为 b；(2)e＝＝ >1，注意：若 a>b>0，则 1
