第三讲 圆锥曲线的综合问题研热点（聚焦突破）类型一 圆锥曲线中的定点定值问题常见的类型(1)直线恒过定点问题；(2)动圆恒过定点问题；(3)探求定值问题；(4)证明定值问题．[例 1] (2012 年高考福建卷)如图，椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e＝.过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，且△ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x＝4 相交于点 Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8.又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以 4a＝8，a＝2.又因为 e＝，即＝，所以 c＝1，所以 b＝＝.故椭圆 E 的方程是＋＝1.(2)由消去 y 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m≠0 且 Δ＝0，即 64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得 4k2－m2＋3＝0.(*)所以 P(－，)．由得 Q(4，4k＋m)假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上．设 M(x1，0)，则对满足(*)式的 m，k 恒成立．因为=(－－x1，)，=(4－x1，4k＋m)，由，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(* *)由于(* *)式对满足(*)式的 m，k 恒成立，所以解得 x1＝1.故存在定点 M(1，0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.1跟踪训练已知抛物线 y2＝4x，圆 F：(x－1)2＋y2＝1，过点 F 作直线 l，自上而下顺次与上述两曲线交于点 A，B，C，D(如图所示)，则|AB|·|CD|的值正确的是( )A．等于 1 B．最小值是 1C．等于 4 D．最大值是 4解析：设直线 l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得 y2－4ty－4＝0.设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线定义 AF＝x1＋1，DF＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝，而 y1y2＝－4，代入上式，得|AB|·|CD|＝1.故选 A.答案：A类型二 最值与范围问题1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．2．求最值问题的方法(1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决；(2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是判别式法...
