第三讲 圆锥曲线的综合问题研热点（聚焦突破）类型一 圆锥曲线中的定点定值问题常见的类型(1)直线恒过定点问题；(2)动圆恒过定点问题；(3)探求定值问题；(4)证明定值问题．[例 1] (2012 年高考福建卷)如图，椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e＝
过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，且△ABF2的周长为 8
(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x＝4 相交于点 Q
试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以 4a＝8，a＝2
又因为 e＝，即＝，所以 c＝1，所以 b＝＝
故椭圆 E 的方程是＋＝1
(2)由消去 y 得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0
因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0，y0)，所以 m≠0 且 Δ＝0，即 64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得 4k2－m2＋3＝0
(*)所以 P(－，)．由得 Q(4，4k＋m)假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上．设 M(x1，0)，则对满足(*)式的 m，k 恒成立．因为=(－－x1，)，=(4－x1，4k＋m)，由，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0
(* *)由于(* *)式对满足(*)式的 m，k 恒成立，所以解得 x1＝1
故存在定点 M(1，0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M
1跟踪训练已知抛物线 y2＝4
