第四讲 思想方法与规范解答(六)思想方法1．数形结合思想解析几何中数形结合思想的应用主要体现在：(1)直线与圆的位置关系的应用；(2)与圆有关的最值范围问题；(3)与椭圆、双曲线、抛物线定义有关的范围、最值等问题．[例 1] (1)(2012 年高考江西卷)过直线 x＋y－2＝0 上的点 P 作圆 x2＋y2＝1 的两条切线，若两条切线的夹角是 60°，则点 P 的坐标是________．(2)(2012 年温州八校联考)设点 P 在椭圆＋＝1 上运动，Q、R 分别在圆(x＋1)2＋y2＝1 和(x－1)2＋y2＝1 上运动，则|PQ|＋|PR|的取值范围为________．[解析] (1)利用数形结合求解．直线与圆的位置关系如图所示，设 P(x，y)，则∠APO＝30°，且 OA＝1.在直角三角形 APO 中，OA＝1 ，∠APO＝30°，则 OP＝2，即 x2＋y2＝4.又 x＋y－2＝0，联立解得 x＝y＝，即 P(，)．(2)设椭圆的左、右焦点分别是 F1(－1，0)、F2(1，0)，则两个已知圆的圆心即为椭圆的两个焦点，如图，因此|PQ|＋|PR|的最大值是|PF1|＋|PF2|＋2＝4＋2＝6，最小值是|PF1|＋|PF2|－2＝4－2＝2.[答案] (1)(，) (2)[2，6]跟踪训练已知等边三角形 ABC 的边长为 4，点 P 在其内部及边界上运动，若 P 到顶点 A 的距离与其到边 BC 的距离相等，则△PBC 面积的最大值是( )A．2 B．16－24C．3 D．8－12解析：由题易知点 P 在以 A 为焦点，BC 边所在直线为准线的抛物线的一段(图中曲线 EF)上运动．设线1段 AN 为 BC 边上的高，曲线 EF 与线段 AN 的交点为 M，由图易知，当 P 位于点 E 或点 F 处时，△PBC 的面积最大．过点 E 作 EH⊥BC，垂足为 H，设 AE＝EH＝x，则 EB＝4－x.在 Rt△EHB 中，EH＝BE·sin 60°，则 x＝(4－x)，解得 x＝8－12，即 EH＝8－12，故△PBC 面积的最大值为×4×(8－12)＝16－24.答案：B2．分类讨论思想分类讨论思想在解析几何中的应用主要体现在：(1)含参数的曲线方程讨论曲线类型；(2)过定点的动直线方程的设法，斜率是否存在；(3)直线与圆锥曲线的位置关系的讨论问题；(4)由参数变化引起的圆锥曲线的关系不定问题．[例 2] (2012 年高考课标全国卷)设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD 的面积为 4，求 p 的值及圆 F 的方程；(2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行...
