2013 年高中数学 1.5 2 定积分概念与性质教案 新人教 A 版选修 2-2 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数 y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线 x=a、x=b、y=0 及曲线 y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b]中任意插入若干个分点a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把[a, b]分成 n 个小区间[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], × × × , [xn-1, xn ], 它们的长度依次为 Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段, 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[xi-1, xi ]上任取一点 x i , 以[xi-1, xi ]为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值, 即A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × ×+ f (x n )Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积 A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令 l®0. 所以曲边梯形的面积为. 1 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度 v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上 t 的连续函数, 且 v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程 S . 求近似路程: 我们把时间间隔[T 1, T 2]分成 n 个小的时间间隔 Dti , 在每个小的时间间隔 Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔 Dti内某点 x i的速度 v(t i), 物体在时间间隔 Dti内 运动的距离近似为 DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔 Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程 S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意...
