三、压轴题专练(一)1．如图，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线x＋y＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．解(1)由题意可知F(－c,0)， e＝，∴b＝c，即B(0，c)， kBF＝＝，又 BC⊥BF，∴kBC＝－，∴C(3c,0)，圆M的圆心坐标为(c,0)，半径为2c，由直线x＋y＋3＝0与圆M相切可得＝2c，∴c＝1.∴椭圆的方程为＋＝1.(2)假设存在满足条件的点N(x0,0)由题意可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， NF为△PNQ的内角平分线，∴kNP＝－kNQ，即＝－，∴＝⇒(x1＋1)(x2－x0)＝－(x2＋1)(x1－x0)．∴x0＝.又∴3x2＋4k2(x＋1)2＝12.∴(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.∴x0＝＝－4，∴存在满足条件的点N，点N的坐标为(－4,0)．2．设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．解(1)函数f(x)的定义域为(0∞，＋)，f′(x)＝，当m≤0时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0∞，＋)，无单调递减区间．当m>0时，f′(x)＝，当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上：当m≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(0∞，＋)，无单调递减区间；当m>0时，函数f(x)的单调递增区间是(∞，＋)，单调递减区间是(0，)．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x>0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，当m＝0时，F(x)＝－x2＋x，x>0，有唯一零点；当m≠0时，F′(x)＝－，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln4<0，所以F(x)有唯一零点．当m>1时，0m时，F′(x)<0；10，所以函数F(x)在(0,1)和(m∞，＋)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点．当01时，F′(x)<0；m0，所以函数F(x)在(0，m)和(1∞，＋)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得lnm<0，所以F(m)＝(m＋2－2lnm)>0，而F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点．综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象有一个交点．3．选做题(1)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.①直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；②设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．(2)选修4－5：不等式选讲设函数f(x)＝|2x－a|＋2a.①若不等式f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤4}，求实数a的值．②在①的条件下，若不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，求实数k的取值范围．解(1)①直线l的普通方程为x－y＋3＝0.曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.② 曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，即x2＋＝1，∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα，sinα)． 2sin＋3≥1>0，∴d＝＝＝.∴d的最小值为＝，d的最大值为＝.∴≤d≤，即d的取值范围为.(2)① |2x－a|＋2a≤6，∴|2x－a|≤6－2a，∴2a－6≤2x－a≤6－2a，∴a－3≤x≤3－， 不等式f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤4}，∴解得a＝－2.②由①得f(x)＝|2x＋2|－4.∴|2x＋2|－4≤(k2－1)x－5，化简整理得|2x＋2|＋1≤(k2－1)x，令g(x)＝|2x＋2|＋1＝y＝g(x)的图象如图所示，要使不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，需k2－1>2或k2－1≤－1，∴k的取值范围是{k|k>或k<－或k＝0}．(二)1．[2016·西安质检]如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 椭圆的一个顶点恰好在抛物线...
