第 6 讲 正弦定理和余弦定理【2013 年高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择． 基础梳理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2 R sin _A，b＝2 R sin _B，c＝2 R sin _C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos _A，b2＝a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos _B，c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C ． 余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a＜bsin Aa＝bsin Absin A＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC 中， A ＞ B ⇔ a ＞ b ⇔ sin A ＞ sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1) 已知两角及任一边，求其它边或角； (2) 已知两边 及一边的对角，求其它边或角．情况 (2) 中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理 1可解决两类问题： (1) 已知两边及夹角求第三边和其他两角； (2) 已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1) 化边为角； (2) 化角为边，并常用正弦 ( 余弦 ) 定理实施边、角转换． 双基自测1．(人教 A 版教材习题改编)在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则 c 等于( )．A．5 B．10 C. D．5解析 由 A＋B＋C＝180°，知 C＝45°，由正弦定理得：＝，即＝.∴c＝.答案 C2．在△ABC 中，若＝，则 B 的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°解析 由正弦定理知：＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a＝，b＝1，c＝2，则 A 等于( )．A．30...
