2.9 函数的应用基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型① 一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．② 二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③ 指数函数型模型：y＝abx＋c(b＞0，b≠1)．④ 对数函数型模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)．⑤ 幂函数型模型：y＝axn＋b.(2)三种函数模型的性质 函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴 平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴 平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 x0，当 x＞x0时，有 logax＜xn＜ax注意事项1.特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2.(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．题型一 一次函数、二次函数函数模型的应用【例 1】在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元，成本为 C(x)元，且 R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台．(1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．解 (1)由题意，得 x∈[1,100]，且 x∈N*.P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.(2)P(x)＝－202＋74 125，当 x＝62 或 x＝63 时，P(x)取得最大值 74 120 元；因为 MP(x)＝2 480－40x 是减函数，所以当 x＝1 时，MP(x)取得最大值 2 440 元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元. 【变式 1】 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；(2)求日销售额 S ...
