4.6 正弦定理和余弦定理考情分析本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档.基础知识 1.正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容[变形①②③④解 决的问题① 已知两边和任一边，求另一角和其他两条边② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角① 已知三边，求各角② 已知两边和它们的夹角求第三边3.三角形的面积公式(1)(2) (3) 4.应用举例利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等.注意事项1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦 值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．题型一 利用正弦定理解三角形【例 1】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求 C.解： B＝π－(A＋C)，∴cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)，∴1 ＝ cos(A － C) ＋ cosB ＝ cosAcosC ＋ sinAsinC － cosAcosC ＋ sinAsinC ＝2sinAsinC，∴sinAsinC＝.由正弦定理＝＝2R，得 a＝2RsinA，c＝2RsinC， a＝2c，∴sinA＝2sinC，∴2sin2C＝，即 sin2C＝，解得 sinC＝或 sinC＝－(舍去)，∴C＝.【变式 1】在△ABC 中，若 b＝5，∠B＝，tan A＝2，则 sin A＝________；a＝________.解析 因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得 sin A＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得 a＝2.答案 2题型二 利用余弦定理解三角形【例 2】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，则 c＝( )A. B. C. 3 D. 答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理得 cosB＝＝， a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，∴＝，即 3＋4(c－b)＝3c,3＋c＝4b，结合 b＋c＝4 解得 c＝.∴选 A.【变式 ...
