第 7 讲 正弦定理、余弦定理应用举例考情分析考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础知识1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°，西偏东 60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．注意事项1.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．2.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．题型一 测量距离问题【例 1】如图所示，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在这岸定 一基线 CD，现已测出 CD＝a 和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求 AB 的长．解 在△ACD 中 ，已知 CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以 AC＝a. ∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得 BC＝＝a.在△ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得 A，B 两点之间的距离为 AB＝＝a.【变式 1】 如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以 CD＝AC＝0.1 km.又...
