5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】在△ABC 中，AB＝，BC＝1，cos C＝.(1)求 sin A 的值；(2)求 BC CA 的值.【解析】(1)由 cos C＝得 sin C＝.所以 sin A＝＝＝.(2)由(1)知，cos A＝.所以 cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－＋＝－.所以 BC ·CA ＝ BC ·(CB ＋ BA)＝ BC CB ＋ BC BA＝－1＋1××cos B＝－1－＝－.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练 1】在△ABC 中，已知 a、b、c 为它的三边，且三角形的面积为，则∠C＝ .【解析】S＝＝absin C.所以 sin C＝＝cos C.所以 tan C＝1，又∠C∈(0，π)，所以∠C＝.题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例 2】设△ABC 是锐角三角形，a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对的边长，并且 sin2A＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B.(1)求角 A 的值；(2)若 AB AC ＝12，a＝2，求 b，c(其中 b＜c).【解析】(1)因为 sin2A＝(cos B＋sin B)(cos B－sin B)＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，所以 sin A＝±.又 A 为锐角，所以 A＝.(2)由 AB AC ＝12 可得 cbcos A＝12.①由(1)知 A＝，所以 cb＝24.②由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2cbcos A，将 a＝2 及①代入得 c2＋b2＝52.③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以 c＋b＝10.因此，c，b 是一元二次方程 t2－10t＋24＝0 的两个根.又 b＜c，所以 b＝4，c＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练 2】在△ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，且满足(2a－c)cos B＝bcos C.(1)求角 B 的大小；(2)若 b＝，a＋c＝4，求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入(2a－c)cos B＝bcos C，1整理得 2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin C cos B，即 2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，在△ABC 中，sin A＞0,2cos B＝1，因为∠B 是三角形的内角，所以 B＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B，将 b＝，a＋c＝4 代入整理，得 ac＝3.故 S△ABC＝acsin B＝sin ...
