§3．1.3 空间向量的数量积运算 知识点一 求两向量的数量积如图所示，已知正四面体 O-ABC 的棱长为 a，求·..解 由题意知 | | = | | = | | = a，且〈，〉= 120°，〈 ，〉= 120°，· =·（ ）= ·· ,= a2cos120°a2cos120°＝0【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈，AC〉＝60°时，〈 ，CA〉＝120°. 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为 AB1的中点，F 为A1D1的中点，试计算：（1）· ；（2）· ；（3）· .解 如图所示，设＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. （1） · = b·［ （c a ）+b］= | b |2 = 42 = 16 ..(2)· = （c a +b ）·（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.（3）· = [(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－|a|2＋|b|2＝2.知识点二 利用数量积求角如图，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA 与 BC 所成角的余弦值．解 . 因,所以 · =· ·=||||cos〈 ，〉| | | | cos〈 , 〉=8×4×cos135° 8×6×cos120°所以cos〈,〉=.＝＝.即 OA 与 BC 所成角的余弦值为.【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．在 二 面 角 α － l － β 中 ， A ， B∈α ， C ， D∈l ， ABCD 为 矩 形 ，P∈β，PA⊥α，且 PA＝AD，M、N 依次是 AB、PC 的中点．(1)求二面角 α－l－β 的大小；(2)求证：MN⊥AB；(3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小．(1)解 PA⊥α，l⊂α∴PA⊥l，又 AD⊥l，PA∩AD=A，∴l⊥平面 PAD，∴l⊥PD，故∠ADP 为二面角 α-l-β 的平面角，由 PA=AD 得∠ADP=45°.∴二面角 α-l-β 的大小为 45°.（2）证明 ＝PD＋DC，＝PC＝PD＋DC＝(AD－AP)＋DC，＝PN－PA ＝PN ＋AP，∴＝＋AP＋DC，＝AN－AM = ＋AP＋DC－DC= ＋AP， AD⊥AB，AP⊥AB∴ AD· ＝ 0，AP·＝0，∴ MN⊥AB.(3)解 设 AP＝a，由(2)得 ＝＋AP·＝ ·AP＋AP·AP＝a2，||＝|AD|＝a，| |＝＝＝a，∴ cos< , >＝＝，即异面直线 PA 与 MN 所成角为 45°.知识点...
