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7.7.3 圆的方程

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圆的方程(3)一.课题:圆的方程(3)二.教学目标:1.掌握圆的一般方程,知道它的特点;2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径;3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程.三.教学重、难点:目标 2,3.四.教学过程:(一)复习:写出圆的标准方程:.(二)新课讲解:1.圆的一般方程 将上述标准方程展开,整理,得,可见,任何一个圆的方程都可以写成 ①的形式。 反过来,形如①的方程的曲线是否一定是圆呢?(学生思考、探索) 将①配方得:. ②把方程②和圆的标准方程进行比较,可以看出: (1)当时,方程①表示以为圆心,为半径的圆; (2)当时,方程①表示一个点; (3)当时,方程①不表示任何图形.结论:当时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点: (1)和的系数相同,且不等于; (2)没有这样的二次项. 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.说明:要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了.(三)例题分析:例 1.求过三点、、的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.解:设所求的圆方程为, 、、在圆上,∴解得,∴所求的圆方程为,圆心坐标为,半径为.注意:⑴由于所求的圆过原点,可设原的方程为;⑵ 本题也可以换一种说法:已知中,三个顶点的坐标分别、、,求的外接圆的方程.例 2.已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.解:设是曲线上任意一点,由题意:, ∴ ,化简得, ①这就是所求的曲线方程.把方程①配方得:,所以方程①的曲线是以为圆心, 为半径的圆.(作图)注意:本题也可以一般化 已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.提 示 : 以 直 线为轴 , 线 段的 中 垂 线 为轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 设,则可以按照上例的方法求解。可得:要注意讨论对曲线的形状的影响.例 3.已知圆与直线相交于、 两点,定点,若,求实数的值.解:设、, 由,消去得:, ① 由题意:方程①有两个不等的实数根,∴,, 由韦答定理:, ,∴,∴,即, 即, ② ,∴, ,代入②得:,即,∴,适合,所以,实数的值为.五.课堂练习:.六.小结:1.圆的一般方程及其形式特点;2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:若条件与圆心、半径有关...

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