圆的方程（5）一．课题：圆的方程（5）二．教学目标：1.能熟练解决与圆有关的轨迹问题；2.能解决与圆有关的最值问题．三．教学重、难点：目标 1，2．四．教学过程：（一）例题分析：例 1．（例 1）圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．（1）当时，求的长；（2）当的长最短时，求直线的方程．解：（1）当时，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即．解法一：（用弦长公式）由 消去得：，设，，则，，∴．解法二：（几何法）弦心距，半径，弦长，（2）当的长最短时，，∵，∴，∴直线的方程为，即．例 2．（例 2）求证：到圆心距离为的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线．证明：建立直角坐标系，设圆以原点为圆心，为半径；圆以点为圆心，为半径。过点的直线与圆相切于点，直线与圆相切于点，且，则圆的方程为，圆的方程为， ∵，∴， 由勾股定理得 ， 即，化简得 ，这就是点的轨迹方程，它表示一条垂直于轴的直线．例 3．圆上的点到直线的最近距离为 ，最远距离为 ．解：（作图分析）圆方程化为，圆心到直线的距离为，∴所求的最近距离为，最远距离为．例 4．（1）已知直线 ：与曲线：有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ；（2）若关于的不等式解集为，则实数的取值范围是 ．解：（1）（数形结合）方程表示斜率为 ，在轴上截距为的直线 ；方程表示单位圆在上及其上方的半圆，如图，当直线过、两点时，它与半圆交于两点，此时，直线记为； 当直线与半圆相切时，，直线记为． 直线 要与半圆有两个不同的公共点，必须满足 在与之间（包括但不包括），∴，即所求的的取值范围是．（2）不等式恒成立，即半圆在直线上方，当直线 过点时，，∴所求的的取值范围是．例 5．（10）求当点在以原点为圆心， 为半径的圆上运动时，点的轨迹方程．解：设点为所求轨迹上任意一点，与对应的圆上的动点的坐标为，则所求轨迹的参数方程为 （为参数），消去参数，得轨迹的普通方程为 ，．五．课堂练习：画出方程的曲线。（答案：两个半圆）六．小结：1．与圆有关的最值问题，要重视数形结合求解；2．与圆的弦长有关的问题，要重视几何方法的运用；3．将参数方程化为普通方程，要注意等价性（限制变量的范围）．七．作业：课本第 82 页第 11 题；第 89 页第 5，6，8，9
