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中科院考研数学-2024数分解答1

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1.求幂级数的收敛域,并求和解:取收敛半径为,设,取临界状态,则有从而只收敛域为,取,可知2.讨论积分的绝对收敛和条件收敛解:取=当时,由于,从而由收敛准则知,此时 发散当时,由于,当且仅当,积分收敛,又因为,其中在单调减,当时趋于零;,有根据收敛准则,是收敛,而,故收敛,从而当且仅当时,积分收敛,又有时,有,因此,此时条件收敛,当时,显然积分绝对收敛3.计算曲面积分,其中为曲面在平面的的右侧部分的外侧。解:取为曲面,它的方向就为轴的负方向,为曲面和形成的几何体,则有从而===4.证明下列不等式;证明:设,所以,则有在点取得最大值;由分析,只需讨论,根绝对称性,可设此时有,又由于在处达到最小值,且有,又由于函数只有一个微小值点,所以在上递增,所以,即

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