近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内讨论两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过讨论构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数 与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转 化为对数问题，再用 对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.★（2024 年新课标 I 卷理数压轴 21 题）已知函数有两个零点.证明：.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：，不难发现，，故可整理得：设，则那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：设，则，故单调递增，有．因此，对于任意的，．由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，，在上单调递增，因此：整理得：．法三：参变分离再构造对称函数由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略. 法五：利用“对数平均”不等式 参变分离得：，由得，，将上述等式两边取以为底的对数，得，化简得：，故由对数平均不等式得：，，从而 等价于： 由，故，证毕. ★(2024 天津理)已知函数 .假如，且.证明：.★设函 数 ，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：① ②①-②得：，即： [来源:学*科*网 Z*X*X*K]招式演练：★已知函数在上有两个零点为.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）;（2）见解析【解析】试题分析：（1）在上有两个零点等价于方程有两个根，即与有两个交点，讨论函数 单调性，结合数形结合可得结果；（ 2）， ，两式相除可得，设，只需证明即可.试题解析：（1） 在上有两个零点，∴ 方程，则，于是时， ，即在上单调递减；当时， ，即在 【方法点睛】本题主要考查利用导数讨论函数单调性进而求最值、不等式恒成立问题以及不等式证明问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 假如分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难讨论, 就不要使用分离参数法.★已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明:当时，.【解析】 (1) 在上单调递增，在上单调递减；(2)由(1)知当时，．不妨...
