【创新方案】2013-2014 学年高中数学 第三章 函数的应用末复习方案与全优评估 新人教 A 版必修 11．函数的零点与方程的根的关系函数 f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的解，函数 f(x)的零点的个数与方程 f(x)＝0 的解的个数相等，也可以说方程 f(x)＝0 的解就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，即函数 f(x)的函数值等于 0 时自变量 x 的取值．因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数．2．函数零点的存在性定理(1) 该 定 理 的 条 件 是 ： ① 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ；② f(a)·f(b)<0，即 f(a)和 f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点情况二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数取决于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的判别式 Δ 的符号，具体情况如下：(1)当 Δ＝b2－4ac>0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数解，这时二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点；(2)当 Δ＝b2－4ac＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数解，这时二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；(3)当 Δ＝b2－4ac<0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数解，这时二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有零点．4.函数应用(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键．(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．函数零点的判断[例 1] 设 f(x)＝x3＋bx＋c 是[－1,1]上的增函数，且 f(－)·f()＜0，则方程 f(x)＝0 在[－1,1]内( )A．可能有 3 个实数根 B．可能有 2 个实数根C．有唯一的实数根 D．没有实数根[解析] 由 f(－)·f...
