《平面向量数量积的坐标表示》教案（2）VIP专享

平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用 a 和 b 的坐标表示 a·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y21.平面向量数量积的坐标表示：已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a·b＝x1x2＋y1y22.两向量垂直的坐标表示：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则 a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0［例 1］已知 a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则 a 与 b 的夹角是多少?分析：为求 a 与 b 夹角，需先求 a·b 及｜a｜｜b｜，再结合夹角 θ 的范围确定其值.解：由 a＝(1，)，b＝(＋1，－1)有 a·b＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.记 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝＝又 0≤θ≤， ∴θ＝评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例 2］已知 a＝(3，4)，b＝(4，3)，求 x，y 的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由 a＝(3，4)，b＝(4，3)，有 xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝03(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0即 25x＋24y＝0①又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1即 x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1②由①②有 24xy＋25y2＝1③将①变形代入③可得：y＝±再代入①得：x＝∴或［例 3］在△ABC 中，AB＝(1，1)，AC＝(2，k)，若△ABC 中有一个角为直角，求实数 k 的值.解：若 A＝90°，则AB·AC＝0，∴1×2＋1×k＝0，即 k＝－2若 B＝90°，则AB·BC＝0，又BC＝AC－AB＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0若 C＝90°，则AC·BC＝0，即 2＋k(k－1)＝0，而 k2－k＋2＝0 无实根，所以 不存在实数 k 使 C＝90°综上所述，k＝－2 或 k＝0 时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨...