第 7 讲 函数的性质与图象本节主要内容有函数的单调性、奇偶性（包括对称性）和周期性，函数图象的画法和变换等内容．A 类例题 例 1 求函数 f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间。（2002 年全国联赛一试）解：由 x2－2x－3>0，得 x<－1 或 x>3． 令 y=f(u)= logu，u= x2－2x－3。由于 f(u)在（0，+∞）上是单调减函数，u= x2－2x－3 在区间（－∞，－1）上是单调减函数，那么由复合函数的单调性可知，函数 f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增。 同样可以得到函数 f(x)在区间(3，+∞)上单调递减。所以函数 f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是（－∞，－1）。说明 分析函数的单调区间一般可以根据原函数的定义域以及复合函数的单调性的判断方法进行判断，也可以利用函数的图象进行判断。论证函数的单调性常常利用定义或导数。例 2 设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的函数，且是偶函数，已知当 x∈[2,3]时 ，f(x)=x，求 x∈[－2，0]时 f(x)的解析式。（1990 年全国联赛一试）分析 由 T=2，可以得出 x∈[－2，－1] 和 x∈[0，1]时 f(x)的解析式；再由奇偶性，即可得到x∈[－2，0]时 f(x)的解析式。解 因为函数 f(x)是以 T=2 为周期的周期函数，所以 f(x+2)=f(x)。当 x∈[－2，－1]时，x+4∈[2，3]，于是 f(x+4)=x+4，则 f(x)= f(x+4)=x+4。当 x∈[0，1]时，x+2∈[2，3]，于是 f(x+2)=x+2，则 f(x)= f(x+2)=x+2。 又由于 f(x)为偶函数，故 f(-x)=f(x)。当 x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，则 f(x)= f(－x)=－x+2。所以 f(x)==3－|x+1|（x∈[－2，0]）。说明 本题是根据周期函数和偶函数得性质来求解的。本题还可以画出函数的图象来解。例 3 设函数 f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，求函数 y=f2(x)的图象与 x轴所围成图形中的封闭部分的面积.（1989 年全国联赛一试）解 图 1 是函数 f0(x)=|x|的图形，把此图形向下平行移动 1 个单位就得到函数 f0(x)=|x|－1的图形，作该图形的在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得出图 2，其中在 x 轴上方的部分即是 f1(x)=|f0(x)–1|的图象，再把该图象向下平行移动 2 个单位得到 f0(x)=|x|－2 的图象，作该图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得到图 3，其中 x 轴上方的部分即是f2(x)= |f1(x)–2|的图象。易得所求面积为 7。用心 爱心 专心1ͼ1yxoͼ21-11yxoͼ3(-1,2)(1,2)-113-...
