第 13 讲 奇偶分析法把全体整数按被 2 除的余数分为两类：被 2 除余数为 0 整数的称为偶数，一般表示为2k(k 为整数)，被 2 除余数为 1 整数的称为奇数，一般表示为 2k+1(k 为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质：1、奇数不等于偶数；2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的；3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4 的倍数，偶数×整数=偶数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性6、奇数的平方被 4 除余 1，偶数平方为 4 的倍数；奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1 与-1(或 1 与 0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．A 类例题 例 1 ⑴ 证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．⑵ 至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．⑴ 分析 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面格点分类，用抽屉原理证明．证明 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类，共有 4 类：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)．任取 5 个格点，必有 2 点属于同一类，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)这二点是属于同一类的两点，则其连线的中点 M((x1＋x2)，(y1＋y2))即为格点．故得证．⑵ 分析 考虑三角形的面积如何计算．解 由三角形面积表达式 S=[(x1－x2)(y2－y3)－(x2－x3)(y1－y2)]知，如果三角形有某两个顶点属于同一类(上题中的分类)，则其面积为整数；如果三个顶点都不同类，则其面积不为整数．于是取分属于 4 个不同的类的 4 个格点，以这 4 点中的任三点为顶点的三角形面积都不为整数，但如果取 5 个格点，则必有某两点属于同一类，此时以这二个点及另外任一点为顶点的三角形面积为整数．故至多取 4 个点，且此四点应分属不同的 4 类．说明 把整数分成“奇数”与“偶数”这两类，就相当于构造了两个抽屉，从而奇偶分析常常用抽屉原理为工具解决...
