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【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第14讲 染色问题教案

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第 14 讲 染色问题本节主要讲述用染色的方法解有关的竞赛题.染色,是一种辅助解题的手段,通过染色,把研究对象分类标记,以便直观形象地解决问题,因此染色就是分类的思想的具体化,例如染成两种颜色,就可以看成是奇偶分析的一种表现形式.染色,也是构造抽屉的一个重要方法,利用染色分类,从而构造出抽屉,用抽屉原理来解题.A 类例题 例 1⑴ 有一个 6×6 的棋盘,剪去其左上角和右下角各一个小格(边长为 1)后,剩下的图形能不能剪成 17 个 1×2 的小矩形?⑵ 剪去国际象棋棋盘左上角 2×2 的正方形后,能不能用 15 个由四个格子组成的 L 形完全覆盖? 分析 把棋盘的格子用染色分成两类,由此说明留下的图形不能满足题目的要求.证 明 ⑴如图,把 6×6 棋盘相间染成黑、白二色,使相邻两格染色不同.则剪去的两格同色.但每个 1×2 小矩形都由一个白格一个黑格组成,故不可能把剩下的图形剪成 17 个 1×2 矩形. ⑵ 如图,把 8×8 方格按列染色,第 1,3,5,7 列染黑,第 2、4、6、8 列染白.这样染色,其中黑格有偶数个.由于每个 L 形盖住三黑一白或三白一黑,故 15 个 L 形一定盖住奇数个黑格,故不可能. 说明 用不同的染色方法解决不同的问题.例 2 用若干个由四个单位正方形组成的“L”形纸片无重叠地拼成一个 mn 的矩形,则mn 必是 8 的倍数.分析 易证 mn 是 4 的倍数,再用染色法证 mn 是 8 的倍数.证明:每个 L 形有 4 个方格,故 4|mn.于是 m、n 中至少有一个为偶数.设列数 n 为偶数,则按奇数列染红,偶数列染蓝.于是红格与蓝格各有 mn 个,而 mn 是偶数.每个 L 形或盖住 3红 1 蓝,或盖住 1 红 3 蓝,设前者有 p 个,后者有 q 个.于是红格共盖住 3p+q 个即 p+q 为偶数,即有偶数个 L 形.设有 2k 个 L 形.于是mn=2k×4=8k.故证.说明 奇偶分析与染色联合运用解决本题.情景再现用心 爱心 专心1例1(2)例 1( ! )1.下面是俄罗斯方块的七个图形:请 你 用 它 们拼出(A)图,再用它们拼出(B)图(每块只能用一次,并且不准翻过来用).如果能拼出来,就在图形上画出拼法,并写明七个图形的编号;如果不能拼出来,就说明理由.2.能否用图中各种形状的纸片(不能剪开)拼成一个边长为 75 的正方形?(图中每个小方格的边长都为 1)请说明理由. B 类例题 例 3 ⑴ 以任意方式对平面上的每一点染上...

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