第 17 讲 三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径 r 的计算：设三角形面积为 S，并记 p=(a+b+c)，则 r=．特别的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题 例 1 证明重心定理。 证法 1 如图，D、E、F 为三边中点，设 BE、CF 交于 G，连接 EF，显然 EF\s\up 3( ∥)BC，由三角形相似可得 GB＝2GE，GC=2GF． 又设 AD、BE 交于 G'，同理可证 G'B=2G'E，G'A=2G'D，即 G、G'都是 BE上从 B 到 E 的三分之二处的点，故 G'、G 重合． 即三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G． 证法 2 设 BE、CF 交于 G，BG、CG 中点为 H、I．连EF、FH、HI、IE，因为 EF\s\up 3( ∥)BC，HI\s\up 3( ∥)BC， 所以 EFHI 为平行四边形． 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法 1 可知 AG=2GD，AD、BE、CF 共点．即定理证毕．用心 爱心 专心1ABCOABCDEFGABCDEFIaIKHEFDABCMABCDEFGIHGEDFABC链接 证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设 AB、BC 的中垂线交于点 O，则有OA=OB=OC，故 O 也在 AC 的中垂线上，因为 O 到三顶点的距离相等，故点 O 是 ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．内心定理的证明：如图，设∠A、∠C 的平分线相交于 I...
