第 25 讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．一．反正弦函数1．定义：函数 y＝sinx(x∈[-，])的反函数就是反正弦函数，记为 y＝arcsinx(x∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-，]内，正弦函数值为 x 的角就是 arcsinx，即 sin(arcsinx)＝x， x∈[－1，1] 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-，]．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即 arcsin(－x)＝－arcsinx， x∈[－1，1] ⑷ y＝arcsinx 的图象：与 y＝sinx(x∈[-，])的图象关于 y＝x 对称．[⑸ arcsin(sinx)的值及 y＝arcsin(sinx)的图象： arcsin(sinx)＝x， x∈[-，] 二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数 y＝cosx(x∈[0，])的反函数就是反余弦函数，记为 y＝arccosx(x∈[－1 ，1])这个式子表示：在区间[0，]内，余弦函数值为 x 的角就是 arccosx，即 cos(arccosx)＝x， x∈[－1，1] 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，]．⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即 arccos(－x)＝－arccosx， x∈[－1，1] ⑷ y＝arccosx 的图象：与 y＝cosx(x∈[0，])的图象关于 y＝x 对称．⑸ arccos(cosx)的值及 y＝arccos(cosx)的图象： arccos(cosx)＝x， x∈[0，] 三．反正切函数1．定义：函数 y＝tanx(x∈(-，))的反函数就是反正切函数，记为 y＝arctanx(x∈R)．这个式子表示：在区间(-，)内，正切函数值为 x 的角就是 arctanx，即 tan(arctanx)＝x， x∈R 2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为 R；值域为(-，)．⑵ 在定义域上单调增；⑶ 是 R 上的奇函数，即 arctan(－x)＝－arctanx， x∈R ⑷ y＝arctanx 的图象：与 y＝tanx(x∈(-，))的图象关于 y＝x 对称．⑸ arctan(tanx)的值及 y＝arctan(tanx)的图象： arctan(tanx)＝x， x∈(-，) 四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．用心 爱心 专心1A 类例题 例 1 证明：⑴ cos(arcsinx)＝；sin(arccosx)＝； tan(arccotx)＝．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x)＝ ； tan(arcsinx)＝ ； cos(arctanx)＝ ； tan(arccosx)＝ ．证明：⑴ 设...
