【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第28讲 数列及其通项教案

第 28 讲 数列及其通项本节主要内容：数列的基本知识，简单的递推和通项的转化A 类例题 例 1 设是首项为 1 的正项数列，且（ =1，2，3，…），则它的 通 项 公 式 是= ． (2000 年江西、天津卷) 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.解法一： 由条件,可得,,,(负值舍去)由此可猜想.解法二： 由,可得因为,所以故只有,即所以…=链 接 ① 形 如的 递 归 式 , 其 通 项 公 式 求 法 为 ：②形 如的 递 归 式 , 其 通 项 公 式 求 法 为 ：例 2 . 已知 an = ( n∈N* )，则在数列{an }的前 20 项中，最大项和最小项分别是() A.a9,a8 . B.a10,a9 . C.a8,a9 . A.a9,a10 . 分析 因为 an =1+ 所以 a1,a2 ,…,a9 组成递减数列，a1最大，a10最小;a10,a11 ,…,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算 a1＜ a10, a9＜ a20.所以在数列{ an }前 20 项中，最大项为 a10，最小项为 a9，故选 B.说明要确定数列{ an }的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察.情景再现1．已知数列{an} a1＝2，an+1＝ (n≥2)，求数列{an}通项 an. 2．已知数列 a1、a2、a3…满足(1) a1=;(2) a1+a2+…+an=n2an (n≥1)，确定 an的值． (第 7 届加拿大中学生数学竞赛试题) 用心 爱心 专心1B 类例题 例 3 数列{an}中，al=2,an > 0 , －=1，求其通项公式.解 令 bn = 则 bn+1－bn =1 , 故数列{ bn }是首项为 1，公差为 1 的等差数列.所以 bn =n 故 an=2.例 4. 已知数列{an}满足且(n=1,2,3…)求 a2004 . (第四届中国西部数学奥林匹古克)解：由题设得 an+2 an+1 －an+1 an=1,所以数列{ an+1 an }是一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,从而 an+1 an=n, n=1,2,3…于是, n=1,2,3…所以例 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.分析 本题涉及数列的若干知识.解 方法一：先考虑偶数项有： ……… 同理考虑奇数项有：………用心 爱心 专心2 综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以………说明 在数列中,属于知道数列的前几项和来求通项公式,我们发现数列的奇数项与偶数项相邻的两个之间的差为等比数列,利用累加法求出前 n 项求和公式,最后再利用前...