【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第30讲 数列的求和教案

第 30 讲 数列的求和本节主要内容有 Sn与 an的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前 n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等．1.重要公式①1+2+…+n=n(n+1)②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)22.数列{an}前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：an=3. 在等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：5.错项相消法6.并项求和法A 类例题 例 1 已知数列｛an｝的通项公式满足：n 为奇数时，an=6n－5 ，n 为偶数时，an=4 n ，求 sn.分析 数列｛an｝的前 n 项可分为两部分，一部分成等差数列，用等差数列求和公式；另一部分成等比数列，用等比数列求和公式。但数列总项数 n 的奇偶性不明，故需分类讨论.解 若 n 为偶数 2m，则 S2m=1+13+25+…+[6(2m－1)－5]+42+44+…+42m=6m2－5m+(42m－1)，Sn=. 若 n 为奇数 2m+1 时，则S2m+1=S2m+6(2m+1)－5=6m2+7m+1+(42m－1)，Sn=.说明 如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成，常采纳先局部后整体的策略，对子数列分别求和后，再合并成原数列各项的和.类似地，若一个数列的各项可拆成等差数列型与等比数列型两部分，也可采纳先局部后整体的策略.例 2(2004 年湖南卷类) 已知数列{an}是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列，Sn是其前 n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列．（I）证明 12S3，S6，S12－S6成等比数列；（II）求和 Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n－2．用心 爱心 专心1分析 (1)对于第(l)问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比，然后写出 12S3，S6，S12－S6，并证明它们构成等比数列．对于第(2)问，由于 Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n－2．所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题．解 （Ⅰ）证明 由成等差数列， 得，即 变形得 所以（舍去）．由 得 所以 12S3，S6，S12－S6成等比数列． （Ⅱ）解：即 ① ①×得： 所以 说明 本题是课本例题：“已知 Sn是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列”的类题，是课本习题：“已知数列{an}是等比数列，Sn是...