第 44 讲 排序不等式与琴生不等式本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用．排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数 a1，a2，……，an；b1，b2，……，bn．如果a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．那么 a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1（反序和）≤a1＋a2＋……＋an（乱序和）≤a1b1＋a2b2＋……＋anbn（同序和），其中 i1，i2，……，in是 1，2，……，n 的一个排列．该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值．切比雪夫不等式：设有两个有序数组 a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．则(a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1)≤·≤(a1b1＋a2b2＋……＋anbn)，其中等号仅当 a1＝a2＝……＝an或 b1＝b2＝……＝bn时取得．琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上．定义 设连续函数 f(x)的定义域是[a，b] (开区间(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a，b]内的任意两点 x1，x2有 f()≤[f(x1)＋f(x2)]，则称 f(x)为[a，b]上的下凸函数．如图(１)定理一．若 f(x)是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点 x1，x2，……，xn，恒有f()≤[f(x1)＋f(x2)＋……＋f(xn)]．定义 设连续函数 f(x)的定义域是[a，b](开区间(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a，b]内的任意两点 x1，x2有 f()≥[f(x1)＋f(x2)]，则称 f(x)为[a，b]上的下凸函数．如图(2)定 理 二 ： 若是 上 凸 函 数 ， 则 对 其 定 义 域 中 的 任 意个 点恒 有，容易验证分别是上的下凸函数。分别是上的上凸函数。定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。幂平均：设是任意 个正数，我们称为这一组数的 次用心 爱心 专心1x1x2M(1)PQx1x2M(2)PQ幂平均，记为（），简记作。由定义容易得到，可以证明。幂平均不等式：设是任意 个正数。如果，那么一定有，等 号 只 有 当个 数 全 相 等 时 才 能 成 立 。 例 如时 ，，显然是 的递增函数。我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。由于幂平均不等式数学背景深，难度大，这里不再证明，有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著《平均》。A 类例题例 1 求证证法一：证 法 二 ：在上 是 下 凸 函 数 。 据 琴 生 不 等 式，因此说明：如原题改为求证，则证法二仍可，证法一则不灵。例 2 中求的最大值。解：考察函数，，对任意，，所...
