第 55 讲 轨迹求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．其中检验就是指检验点轨迹的纯粹性和完备性．常用的求轨迹方程的方法有定义法、直接法、代入法、参数法等．A 类例题 例 1．半径为 1 的圆 C 过原点 O，Q 为圆 C 与 x 轴的另一个交点，OQRP 为平行四边形，其中 RP为圆 C 的切线，P 为切点，且点 P 在 x 轴上方，当圆 C 绕原点 O 旋转时，求 R 点的轨迹．分析 当圆 C 绕原点 O 旋转时，圆心 C 到原点 O 的距离|OC|＝1，所以圆心 C 运动的轨迹是单位圆，由于 R 点与圆心有关，所以只要把圆心的坐标用 R 点的坐标表示，再代入 C 点的轨迹方程，便可得到 R 点的轨迹方程．解 设圆心 C(x0，y0)，则 Q(2x0，0)且由 PR∥OQ，RP 与圆 C 相切知，P(x0，y0＋1)，从而R(3x0，y0＋1)．因为|OC|＝1，即 x＋y＝1．设 R(x，y)，则 x＝3x0，y＝y0＋1，即 x0＝，y0＝y－1．代入上式，得＋(y－1)2＝1 (x≠0)．说明 本题采用的方法是求轨迹方程的常用方法——代入法：如果轨迹动点 P(x，y)依赖于另外的动点 Q(a，b)，而 Q(a，b)又在某已知曲线上，则可以先列出关于 x、y、a、b 的方程组，利用x、y 表示出 a、b，再把 a、b 代入已知曲线方程，从而求得动点 P 的轨迹方程．例 2．已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以 y 轴为右准线，并过定点P(1，2)．(1)求此双曲线右焦点 F 的轨迹；(2)过 P 与 F 的弦与右支交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程．解 (1)由于 2a＝b＋c，则 b2＝4a2＋c2－4ac，所以 e＝，设右焦点 F(x，y)，又双曲线定义，得＝，所以(x－1)2＋(y－2)2＝．所以，双曲线的右焦点 F 的轨迹是以(1，2)为圆心，为半径的圆．(2)设 Q(x，y)，由双曲线的定义，得＝＝e，所以，＝，即＝(1＋x)，整理得 9x2－16y2＋82x＋64y－55＝0．说明 本题采用的方法一般称为直接法：直接利用题目中的等量关系，或利用平面几何知识推出等量关系，从而求出轨迹方程．例 3．一动圆过点(0，6)且与圆 x2＋y2＝100 内切．求这动圆圆心的轨迹．分析 根据已知条件，可设动圆圆心为(x，y)，动圆半径为 r．因为动圆过点(0，6)，则＝r．又因为与圆 x2＋y2＝100 内切，则＝10－r，消去参数 r 即可．解 设 F(0，6)，动圆圆心 P(x，y)，半径为 r(r＞0)．由动圆过 F，则|PF|＝r．又动圆与圆 x2＋y2＝100 内切，则|OP|＝10－r，于是点 P 满足|...
