2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义问题导学一、向量数量积的概念活动与探究 1已知 a，b，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是( )①|a·b|＝|a||b|⇔a∥b；② a，b 反向⇔a·b＝－|a||b|；③ a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|．A．1 B．2 C．3 D．4迁移与应用1．已知下列命题：① 若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非零向量，若 a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|＜a·b；④ a·a·a＝|a|3；⑤若向量 a，b 满足 a·b＞0，则a 与 b 的夹角为锐角，其中判断为正确的是________．2．已知 a，b，c 是三个向量，试判断下列说法的正误：(1)若 a·b＝a·c 且 a≠0，则 b＝c；(2)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0；(3)若 a⊥b，则 a·b＝0；(4)向量 a 在 b 的方向上的投影是模等于|a||cos θ|(θ 是 a 与 b 的夹角)、方向与 b相同或相反的一个向量．对于这类概念、性质、运算律问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．二、平面向量数量积的运算活动与探究 2(1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；(2)在△ABC 中，M 是线段 BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．迁移与应用1．设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为，则|a＋2b|＝________．2．设正三角形 ABC 的边长为，＝c，＝a，＝b，求 a·b＋b·c＋c·a．(1)求 a，b 的数量积需已知三个量，即|a|，|b|，θ，其中确定角 θ 是关键，注意θ∈[0，π]．还要注意结合向量的线性运算．(2)求向量模时可用如下方法：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；②|a±b|＝＝．由关系式 a2＝|a|2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化． 因此欲求|a＋b|，可求．三、用平面向量数量积解决垂直问题活动与探究 3已知|a|＝5，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当 k 为何值时，向量 ka－b 与 a＋2b垂直？迁移与应用已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a与 b 的夹角．解决向量垂直问题常用向量数量积的性质 a⊥b⇔a·b＝0．这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．当堂检测1．已知 a 与 ...
