第 2 讲 多项式理论多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的影响，与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、数论等知识，是一个综合性的工具，也是数学竞赛中的热点问题．多项式的基本理论主要包括：余数定理与因式定理；多项式恒等条件；韦达定理；插值公式等．具体如下：1．多项式恒等：(1) 多项式恒等条件：两个多项式相等当且仅当它们同次幂的系数相等．(2)带余除恒等式：多项式 f(x)除以多项式 g(x)，商式为 q(x)，余式为 r(x)，(则 r(x)的次数小于 g(x)的次数），则．特别是多项式 f(x)除以 x-a，商式为 g(x)，余数为 r，则 f(x)=(x-a)g(x)+r．(3)多项式恒等定理：若有 n+1 个不同的 x 值使 n 次多项式 f(x)与 g(x)的值相同，则． 在数学竞赛中，经常用到先猜想后证明的思想：比如先找出一个 n 次多项式 f(x)符合题意，再验证 f(x)与 g(x)在 n+1 个不同的 x 值处，均有 f(x)=g(x)，则．2．余数定理与因式定理：(1)余数定理：多项式 f(x)除以 x-a 所得的余数等于 f(a)．(2)因式定理：多项式 f(x)有一个因式 x-a 的充要条件是 f(a)=0．(3)几个推论：① 若 f(x)为整系数多项式，则 f(x)除以(x-a)所得的商也为整系数多项式，余数为整数．② 若 f(x)为整系数多项式，a、b 为不同整数，则③f(x)除以所的的余数为．3．代数基本定理(1)代数基本定理：一个 n 次多项式在复数范围内至少有一个根．(2)根的个数定理：一个 n 次多项式在复数范围内有且仅有 n 个根．4．韦达定理与虚根成对定理(1)韦达定理：如果一元 n 次多项式的根是，那么有……简写成．(2)复根成对定理：若实系数多项式 f(x)有一个虚根那么它的共轭复数也是 f(x)的根，并且和有相同重数．运用时要注意必须是实系数方程．5．拉格朗日（Lagrange）插值公式设 f(x) 是 一 个 次 数 不 超 过 n 的 多 项 式 ， 数 a1 ， a2 ， … ， an+1 两 两 不 等 ， 则 用心 爱心 专心1．简写成 f(x)=．A 类例题 例 1 将关于 的多项式表为关于的多项式其中则 ．（2005 年全国联赛一试）分析 先利用等比数列的求和公式求出 f(x)的表达式，然后用变量代换转化为关于 y 的多项式，最后对它赋值即可．解 由题设知，和式中的各项构成首项为 1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有说明 赋值法在解决多...
