第 2 课时 等比数列的性质1．复习巩固等比数列的概念及其通项公式．2．掌握等比中项的应用．3．掌握等比数列的性质，并能解决有关问题．1．等比数列的定义及通项公式【做一做 1】 等比数列{an}的公比 q＝3，a1＝，则 a5等于( )A．3 B．9 C．27 D．812．等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成________，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式________．【做一做 2】 已知 10 是 a 与 20 的等比中项，则 a＝__________.答案：1．同一个常数 公比 q an＝ a1qn－1 an＝an－1q【做一做 1】 C2．等比数列 G2＝ab【做一做 2】 51．等比数列的性质剖析：已知等比数列{an}中，首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则 an＝a1·qn－1.(1)当 q＞1，a1＞0 或 0＜q＜1，a1＜0 时，数列{an}是递增数列；当 q＞1，a1＜0 或 0＜q＜1，a1＞0 时，数列{an}是递减数列；当 q＝1 时，数列{an}是常数列；当 q＜0 时，数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．(2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)．(3)当 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有 am·an＝ap·aq.(4)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即 a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝am·an－m＋1.(5)数列{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为 q·q′的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．(6)在数列{an}中，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 qk＋1.(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为 lg q 的等差数列．(8)在数列{an}中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列．(9)若 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则 am，an，ap成等比数列．利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4)，下面证明其他几条性质(5)① an＝a1·qn－1，∴λan＝λ·a1·qn－1＝(λa1)·qn－1.又 λ≠0，∴数列{λan}是首项为 λa1，公比为 q 的等比数列．② bn＝b1·(q′)(n－1)，an＝a1·qn－1，∴an·bn＝a1·qn－1·b1·(q′)(n－1)＝(a1·b1)·(q′·q)n－1.∴数列{an·bn}表示首项为 a1·b1，公比为 q′·q 的等比数列．③ 由＝＝·n－1，得...
