第 16 讲 组合几何 本节主要内容是组合几何，几何中一些组合性质的问题．按照数学家厄迪斯的说法，凸性、覆盖、嵌入、计数、几何不等式、等都属于这类问题．凸包和覆盖、几何不等式问题分别在第 6 讲、第 15 讲已经着重讲解过，本讲仍有所涉及，本讲涉及组合计数、几何极值、几何图形的分割和一些组合几何杂题．A 类例题 例 1 证明：任何面积等于 1 的凸四边形的周长及两条对角线之和不小于 4+2.(1985 年奥地利和波兰联合数学竞赛试题)分析 先考虑两种特殊情形：面积等于 1 的正方形和菱形. 在正方形中周长为 4,对角线之和为 2；在菱形中, 两条对角线长分别为 l1和 l2, 则因面积面积 S= l1l2 =1,故 l1＋l2≥2=2,而周长=4=2≥2 =4. 故两种特殊情形之下结论成立．这就启发我们可将周长和对角线分开来考虑．证明 设 ABCD 是任一面积为 1 的凸四边形(如图)，于是有1=(eg+gf+fh+he)sinα≤(eg+gf+fh+he)＝(e＋f )( g+h) ≤()2, 即对角线之和为 e＋f + g+h≥2．再按图的方式最新将图形中线段和角标上字母，于是又有2=2S 四边形 ABCD= absinβ1+bcsinβ2+cdsinβ3+dasinβ4≤(ab+bc+cd+da)= (a+c)(b+d)≤()2,则 a+b+c+d≥4.综上所述, 命题结论成立．说明 几何不等式的证明通常引进几何变量后化归为代数不等式的证明，其中均值不等式和柯西不等式经常使用．例2在平面上给定五个点，连接这些点的直线互不平行、互不垂直，也互不重合．过每一点作两两连接其余四点的所有直线的垂线．若不计原来给定的五点, 这些垂线彼此间的交点最多能有多少个？(第 6 届 IMO 试题)分析 先考虑所有五个点间的连线的情况，再考虑每点向所有连线作的垂线的情况，利用多个点向一条直线作垂线没有交点，三角形的三条高线交于一点，将多计数的交点一一剔除．解 由题设条件，给定的五个点之间的连线共有 C5=10 条, 这些点构成的三角形共有C5=10 个．过给定五点中的每一个作不通过该点连线的垂线共有 5C4=30 条．若此 30 条垂线两两互不平行, 它们的交点也互不重合, 则共有 C30=435 个交点．然而，在本问题中的 30 条垂线有相互平行的, 也有交点重合的, 故应从 435 个交点中减去多计入的交点个数．首先，对于任一条连线，过其余三点所作该连线的三条垂线是彼此平行而无交点的，故应从总数中减去由此多计入的 10 C3=30 个交点；其次，对于由这些连线构成的每一个三角形来说，三条高同交于一点，而这...
