大学数学-2001天津市理工高等数学竞赛真题答案

2001 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1. 函数在（-∞，+∞）上连续，则 a = 2 。2. 设函数 y = y(x) 由方程所确定，则 。3. 由曲线与 x 轴所围成的图形的面积 A = 。4. 设 E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。5．设 L 是顺时针方向的椭圆，其周长为 l ，则 4 l 。二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 若且，则（ D ）（A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C 均不正确。2. 设，，则当时，（ A ）（A）与为同阶但非等价无穷小； （B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小； （D）是比更低阶的无穷小。3. 设函数对任意 x 都满足，且，其中 a、b 均为非零常数，则在 x = 1 处（ D ）（A）不可导； （B）可导，且；（C）可导，且； （D）可导，且。4. 设为连续函数，且不恒为零，I=，其中 s > 0，t > 0，则 I 的值（ C ）（A）与 s 和 t 有关； （B）与 s、t 及 x 有关；（C）与 s 有关，与 t 无关； （D）与 t 有关，与 s 无关。5. 设 u (x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ B ）。（A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；（B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上；（C）u (x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D）u (x，y) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限 。（本题 6 分）解：；；；由此得到： 。四、计算。（本题 6 分）解：命：，于是五、设函数的所有二阶偏导数都连续，，，求。（本题 6 分）解：两边对 x 求导，得到代入，求得，两边对 x 求导，得到，两边对 x 求导，得到。以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故。六、在具有已知周长 2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题 7 分）解：设三角形的三条边长分别为 x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积 S 的平方为则本题即要求在条...