一、计算下列各题（要求写出重要步骤）（本题共 5 小题，每小题 7 分，共 28 分） (1) 计算 （重要极限或罗比达法（））(2) 计算广义积分 （）(3) 设确定, 其中, 求. （隐函数求导法则 =1）(4) 计算： 二、（本题 12 分）设函数具有一阶连续导数，存在，且，， （1）确定 ，使处处连续； 学院 专业 级 学号 姓名 （2）对以上所确定的 ，证明具有一阶连续导数.解：（1）因为若处处连续，则在处连续. 于是，且（2）因 于是 显然，当时，连续，当时，因为所以在处连续，故具有一阶连续导数.三、（本题 12 分）设当时, 可微函数满足条件，且，试证: 当时, 有成立.证明: 设由题设知, 则所给方程可变形为.两端对求导并整理得，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得.由得, , 可见单减.而, 所以当时,。 对在上进行积分得.四、（本题12）在上可导,且,证明：,使简证：[] 五、（本题 12）设 （1）证明：当时幂级数收敛（2）求上述幂级数在（-1,1）内的和函数解：（1） 由= 即得 ；由此可得 ，所以的收敛半径因此当时，收敛（2）由上述计算知 =由于在（-1,1）内，= = ==将它代入得的和函数六、（本题 12, 非理工组做（a）题，理工组做（b）题）（ a ） ( 非 理 工 组 做 ) 设, , 其 中连 续 , 求 , ]（b）(理工组做) 设函数在内有一阶连续导数, 是上半平面内的有向分段光滑 曲 线 , 其 起 点, 终 点 为, 记 (1)证明:曲线积分 与路径 无关; (2)当时,求 的值. [(1)]七 、 （ 本 题 12 ） 设 锥 面平 面求以点 P 为中心与相切的球面方程与切点坐标，其中 P 是 S 上到 距离最小的点解：S 上任一点到的距离为 作拉格朗日函数 则由 ，即 得唯一的可能极值点 ；由问题的实际意义知，S上的点到的最小距离是存在的，它就是点到的 距 离 ， 因 此 ， 点 P， 最 小 距 离 为=由此可知，以点 P 为中心与相切的球面方程下面计算切点坐标。过点 P 作的垂线 L.则 L 的方程为即 将它代入的方程，即 ，将它代入得切点坐标为
