前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2024 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1．计算∬D(x+ y )ln(1+ yx )√1−x−ydxdy=____________，其中区域D 由直线x+ y=1 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令x+ y=u, x=v ，则x=v , y=u−v ，dxdy=|det(011−1)|dudv=dudv，∬D(x+y )ln(1+ yx )√1−x−ydxdy=∬Dulnu−ulnv√1−ududv=∫01(u lnu√1−u ∫0udv−u√1−u∫0ulnvdv)du¿∫01 u2lnu√1−u−u(ulnu−u)√1−udu=∫01u2√1−udu（*）令t=√1−u ，则u=1−t2du=−2t dt ，u2=1−2t 2+t 4 ，u(1−u)=t2(1−t)(1+t )，(∗)=−2∫10 (1−2t2+t 4)dt=2∫01(1−2t2+t4)dt =2[t−23 t3+ 15 t5]01=16152．设f ( x)是连续函数，且满足f (x)=3 x2−∫02f (x)dx−2, 则f ( x)= ____________.解:令A=∫02f (x)dx ，则f ( x)=3 x2−A−2 ，A=∫02 (3x2−A−2)dx=8−2( A+2)=4−2 A ,解得A=43 。因此f ( x)=3 x2−103 。3．曲面z= x22 + y2−2平行平面2 x+2 y−z=0的切平面方程是__________.解 : 因 平 面2 x+2 y−z=0的 法 向 量 为 (2,2,−1)， 而 曲 面z= x22 + y2−2在( x0, y0)处的法向量为(zx(x0 , y0), z y(x0 , y0),−1)，故(zx(x0 , y0), z y(x0 , y0),−1)与(2,2,−1)平行，因此，由 z x=x ， z y=2 y 知2=z x(x0, y0)=x0 ,2=z y( x0, y0)=2 y0 ，即 x0=2, y0=1 ， 又 z( x0, y0)=z(2,1)=5， 于 是 曲 面2 x+2 y−z=0在(x0, y0, z( x0, y0))处的切平面方程是2( x−2)+2( y−1)−( z−5)=0 ，即曲面z= x22 + y2−2平行平面2 x+2 y−z=0的切平面方程是2 x+2 y−z−1=0 。4．设函数 y= y(x )由方程xef ( y)=e yln 29确定，其中f 具有二阶导数，且f '≠1，则d2 ydx2 =________________.解:方程xef ( y)=e yln 29的两边对x 求导，得ef ( y)+x f'( y ) y' ef ( y)=e y y' ln 29因e y ln29=xef ( y )，故1x +f'( y ) y'= y'，即y'=1x(1−f'( y )) ，因此d2 ydx2 =y' '=−1x2(1−f'( y ))+f' '( y) y'x[1−f'( y )]2=f' '( y)x2[ 1−f'( y)]3−1x2(1−f'( y))= f''( y)−[ 1−f'( y)]2x...
