§8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离2014 高考会这样考 1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点)．复习备考要这样做 1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化．1． 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2所成的角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2. 点面距的求法如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离 d＝.[难点正本 疑点清源]1． 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．2． 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α、β 的向量 n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补．3． 求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．1． 若平面 α 的一个法向量为 n＝(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a＝(－2，－3,3)，则 l与 α 所成角的正弦值为___________．答案 解析 n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3，1|a|＝＝，∴cos〈n，a〉＝＝＝－.又 l 与 α 所成角记为 θ，即 sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.2． 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角为________．答案 30°解析 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α所成的角为 90°－60°＝30°.3． 从空间一点 P 向二面角 α—l—β 的两个面 α，β 分别作垂线 PE，PF...
