专题四 数列的综合应用1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和 d 可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与 q 均不为零；(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由 a1，d 或 a1，q确定2. 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等．3． 解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．4． 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an与 an＋1的递推关系，还是 Sn与 Sn＋1之间的递推关系．1． 在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则 a3＋a5的值为________．答案 5解析 设首项为 a1，公比为 q，则 a1>0，q>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aq4＋2aq6＋aq8＝aq4(1＋q2)2＝25.∴a1q2(1＋q2)＝5，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5.2． 已知等差数列的公差 d<0，前 n 项和记为 Sn，满足 S20>0，S21<0，则当 n＝________时，Sn达到最大值．答案 10解析 S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)>0，1S21＝21a11<0，∴a10>0，a11<0，∴n＝10 时，Sn最大．3． 设等差数列{an}的各项均为整数，其公差 d≠0，a5＝6，若 a3，a5，am (m>5)是公比为 q (q>0)的等比数列，则 m 的值为________．答案 11解析 由题意，得 a3＝6－2d，因为 q＝＝，所以 3－d＝；因为 q 大于零，所以 3－d 是大于零的整数，q＝.由题意知，数列{an}各项均为整数，故 d，q 均应为整数．当 3－d>3,3－d∈Z 时，q 不为整数，故 3－d 只能取 1,3.当 3－d＝3 时，d＝0，不满足条件；故 3－d＝1，此时 d＝2，q＝3，满足条件．...
