专题五 圆锥曲线的综合问题1． 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程 f(x，y)＝0.由，消元如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.① 若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称轴平行或重合．② 若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac.a．Δ>0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ＝0 时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ<0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．2． 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝|x1－x2|或|P1P2|＝|y1－y2|.(2)当斜率 k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．3． 圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝ 1 中，以P(x0 ，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝－；在双曲线－＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝；在抛物线 y2＝2px (p>0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝.[难点正本 疑点清源]1． 直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．2． “点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 Δ>0 是否成立．1． 已知 F1、F2为椭圆＋＝1 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝_______________.答案 8解析 由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.2． 已知双曲线方程是 x2－＝1，过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1，P2两点，并使 P(2,1)为1P1P2的中点，则此直线方程是____________．答案 4x－y－7＝0解析 设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由 x－＝1，x－＝1，得 k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2－56x＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．3． 过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线...
