12.2 数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法的定义对于某些与正整数有关的数学命题，可用下列方法来证明它们的正确性：(1)验证当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝1,2 等)时结论正确；(2)假设当________________________时结论正确，证明当________时结论也正确．完成这两步，就可以断定这个命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．从数学归纳法的定义我们可以看出，它强调的是两个基本步骤，而这两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可．注意：数学归纳法的证明步骤可总结为：奠基步骤不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．2．数学归纳法的特点(1)无穷性：数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题，实际上就是关于正整数的无穷性命题，命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的，所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了命题无穷性的正确性，成为“沟通无限与有限的桥梁”．(2)有穷性：与正整数有关的命题具有无穷性，但是数学归纳法的基本步骤是有穷的，仅仅只有两个步骤，而且这两个步骤缺一不可．数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本身具有的传递性，运用“有限”的手段来解决“无限”的问题．1．已知 f(n)＝＋＋＋…＋ ，则 f(n＋1)－f(n)＝__________.2．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从 n＝k 到 n＝k＋1 时，该式左边应添加的代数式是__________．3．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验第一个值 n0＝__________.4．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为__________．1．用数学归纳法证明问题关键是哪一步？提示：理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明 n＝k＋1 命题成立时必须要用到 n＝k 时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．2．利用数学归纳法证明时应注意哪些问题？提示：(1)第一步验证 n＝n0时命题成立，n0是使命题成立的最小正整数，它的取值不一定是 1.(2)数学归纳法证题的关键是合理运用归纳假设，也就是说，没有使用归纳假设的证明是错误的．搞清命题的结构形式，弄清由 k 到k＋1 时命题的变化是关键，合理拼凑出归纳假设...
