【高考 A 计划】2014 高考数学第一轮复习 第 12 课时 反函数学案 新人教 A版一．课题：反函数 二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题．三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则，；3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由解出，（2）将中的互换位置，得，（3）求的值域得的定义域．（三）例题分析：例 1．求下列函数的反函数：（1）；（2）；（3）．解：（1）由得，∴，∴所求函数的反函数为．（2）当时，得，当时，得，∴所求函数的反函数为．（3）由得，∴，∴所求反函数为．1例 2．函数的图象关于对称，求的值． 解：由得，∴，由题知：，，∴．例 3．若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值．解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上，∴，∴，∴．例 4．（《高考计划》考点 12“智能训练第 5 题”）设函数，又函数与的图象关于对称，求的值．解法一：由得，∴，，∴与互为反函数，由，得．解法二：由得，∴，∴．例 5．已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足．例 6．（《高考计划》考点 12“智能训练第 15 题”）已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式．解：（1）由题知，得，此时，即为奇函数．2（2）∵，得，∴．（3）∵，∴，∴，① 当时，原不等式的解集，② 当时，原不等式的解集．（四）巩固练习：1．设，则 ． 2．设，函数的反函数和的反函数的图象关于 （ ）轴对称 轴对称 轴对称 原点对称3．已知函数，则的图象只可能是 （ ） 4．若与的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则 ．五．课后作业：《高考计划》考点 12，智能训练 1，2，3，6，10，12，14．31xyO2xyO1xyO11xyO2
