第四节 基本不等式： ≤(a，b∈R＋)知识梳理一、算术平均数与几何平均数的概念若 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数是，几何平均数是.二、常用的重要不等式和基本不等式1．若 a∈R，则 a2≥0，≥0(当且仅当 a＝0 时，取等号)．2．若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时 取等号)．3．若 a，b∈R＋，则 a＋b≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)．4．若 a，b∈R＋，则≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则≥(当且仅当 a＝b 时取等号)．变式： ab≤2(a，b∈R＋)．四、最值定理设 x>0，y>0，由 x＋y≥2，有：(1)若积 xy＝P(定值)，则和 x＋y 最小值为 2；(2)若和 x＋y＝S(定值)，则积 xy 最 大值为 2.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．五、比较法的两种形式一是作差，二是作商．基础自测1．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y的最小值是( )A．4 B．8 C．2 D．4解析：因为 2x＋4y≥2＝2＝2＝8，当且仅当 2x＝22y，即 x＝2y＝2 时取等号，所以 2x＋4y的最小值为 8.答案：B2．下列结论中正确的是( )A．当 x＞0 且 x≠1 时，lg x＋≥2B．当 x＞0 时，＋≥2C．当 x≥2 时，x＋的最小值为 2D．当 0＜x≤2 时，x－无最大值答案：B3．若直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的周长，则＋的最小值是________．答案：44 ．当 x>2 时，不等式 x＋≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．解析：因为 x＋≥a 恒成立，所以 a 必须小于或等于 x＋的最小值．因为 x>2，所以 x－2>0.所以 x＋＝(x－2)＋＋2≥4.所以 a≤4.答案：(－∞，4]11.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.1．(2013·山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )A．0 B．1 C. D．3解析：由已知得 z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当 x＝2y 时取等号，把 x＝2y 代入(*)式，得 z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.故选 B.答案：B2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产 x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均到每件产品的生产准备 费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60 件 B．80 件 C．100...
