第四节 简单三角函数的恒等变换能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆.知识梳理一、将二倍角公式变形可得到的公式1．降幂公式：sin2α＝ ____________，cos2α＝___________，sin αcos α＝________.2．升幂公式：1＋cos α＝________， 1－cos α＝________.3．半角公式：sin＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.注意：等号后的正、负号由所在的象限决定．二、辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，其中 sin φ＝，cos φ＝，即 tan φ＝.一、1. sin 2α 2.2cos2 2sin2基础自测 1．(2012·哈尔滨三中月考)已知 cos＝－，则 cos x＋cos＝( )A．－ B．±C．－1D．±1 解析：∵cos＝－，∴cos x＋sin x＝－，∴cos x＋cos＝cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝ ×＝－1.故选 C.答案：C2．(2012·深圳调研)已知过点(0,1)的直线 l：xtan α－y－3tan β＝0 的斜率为 2，则 tan(α＋β)＝( )1A．－ B. C. D．1解析：依题意有－1－3tan β＝0，且 tan α＝2，所以 tan β＝－.所以 tan (α＋β)＝＝＝1.故选 D.答案：D3．(2013·无锡联考)已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos，则 sin 2α 等于________．解析：由 cos 2α＝cos 得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)，由 α 为锐角知 cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝，平方得 1－sin 2α＝.∴sin 2α＝.答案：4. (2013·江西师大附中三模)已知 sin＝－2sin，则 tan 2θ＝__________.解析：由 sin(3π－θ)＝－2sin 得 tan θ＝－2，所以 tan 2θ＝＝.答案： 1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知 sin 2α＝，则 cos2＝( )A. B. C. D.解析：因为 cos2＝＝＝，所以 cos2＝＝＝，选 A.答案：A2. (2013·北京卷)已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求 f(x)的最小正周期及最大值；(2)若 α∈，且 f(α)＝，求 α 的值．解析：(1)因为 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，所以 f(x)的最小正周期为，最大值为. (2)因为 f(a)＝，所以 sin＝1.因为 α∈， 2所以 4α＋∈，所以 4α＋＝，故 α＝. 1．(2012·杭州市学军中学月考)若直线 x＝t 与函数 y＝sin 和 y＝cos 的图象分别交于 P，Q两点，则|PQ|的最大值为( )A．2 B．1C. D.解析：依题意有|PQ|＝sin－cos＝|s in 2t|≤.故选 D.答案：D2．若＝2 015，则＋tan 2θ＝________.解析：＋tan 2θ＝＋tan 2θ＝＋tan 2θ＝＋＝＝＝2 015.答案：2 0153
