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再谈用法向量确定二面角的平面角的大小

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再谈用法向量确定二面角的平面角的大小江苏省盐城市盐阜中学(224000) 董成勇中学教材中引入空间向量,促进了几何问题代数化的趋势,使得很多立体几何问题避免了传统综合推理方法中的作图环节,因此解决过程更加的程序化、简洁化。其中二面角的求解只需要借助法向量的夹角来解决,和以往的综合推理方法比较要简单很多。但是利用法向量求二面角时,需要直观估计二面角是锐角还是钝角,在二面角比较接近 900或者图形放置的位置不适宜时,容易估错。《中学数学教学》2005 年第 5 期上刊登的张家武老师撰写的文章——《谈用法向量确定二面角的平面角的大小》一文中引入了“卦向量”解决了这一问题,但是这个方法对于中学生来说比较难理解,下面笔者介绍一个更加适合中学生理解和使用的方法。定义:如图 1,面和面相交,交线为 ,图 2 是这两个平面所构成几何体的俯视图,定义区域Ⅰ为二面角内,区域Ⅱ为二面角外。ⅡⅠ图2图1定理:如图 2,分别是面和面的法向量,如果的指向一致(都指向着二面角内或二面角外),则法向量的夹角与二面角互补;如果的指向相反,则法向量的夹角与二面角相等。这个定理的证明比较的容易,在此不再叙述。通过这个定理,我们可以发现,只要判断出两个平面的法向量的指向,就可以直接的知道法向量的夹角和二面角用心 爱心 专心是相等还是互补,进而求出二面角的大小,而不需要通过直观估计二面角是钝角还是锐角。例题 1 在正方体中,二面角的大小为 解:如图 3,,所以以直线的方向向量分别为和法向量,分别令,设正方形的边长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 即向量的夹角为 600,由于的指向都是向着二面角外,所以二面角与向量的夹角互补,所以二面角的大小为 1200例题 2 如图 4,,求二面角的大小。用心 爱心 专心xyzB1C1D1A1BCAD x y zPACB4图图 4解:建立如图所示空间直角坐标系,则,设面的法向量,同理可得面的法向量(下面确定向量的指向)把向量的起点都放在点,不难发现向量指向二面角的内部,向量指向二面角的外部,根据前面的定理知道向量的夹角和二面角相等。记二面角的大小为,,即二面角的大小为由这两个例题可以发现,如果仅仅依靠直观估计(定性的角度)来判断二面角是钝角还是锐角并不容易,利用法向量的指向可以从计算的角度(定量的角度)来解决这个问题,使得心里更加的踏实。用心 爱心 专心通讯地址:江苏省盐城市旭日路 4 号(224000)电子邮箱:hxz0120@163.com用心 爱心 专心

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