再谈用法向量确定二面角的平面角的大小江苏省盐城市盐阜中学(224000) 董成勇中学教材中引入空间向量，促进了几何问题代数化的趋势，使得很多立体几何问题避免了传统综合推理方法中的作图环节，因此解决过程更加的程序化、简洁化。其中二面角的求解只需要借助法向量的夹角来解决，和以往的综合推理方法比较要简单很多。但是利用法向量求二面角时，需要直观估计二面角是锐角还是钝角，在二面角比较接近 900或者图形放置的位置不适宜时，容易估错。《中学数学教学》2005 年第 5 期上刊登的张家武老师撰写的文章——《谈用法向量确定二面角的平面角的大小》一文中引入了“卦向量”解决了这一问题，但是这个方法对于中学生来说比较难理解，下面笔者介绍一个更加适合中学生理解和使用的方法。定义：如图 1，面和面相交，交线为 ，图 2 是这两个平面所构成几何体的俯视图，定义区域Ⅰ为二面角内，区域Ⅱ为二面角外。ⅡⅠ图2图1定理：如图 2，分别是面和面的法向量，如果的指向一致（都指向着二面角内或二面角外），则法向量的夹角与二面角互补；如果的指向相反，则法向量的夹角与二面角相等。这个定理的证明比较的容易，在此不再叙述。通过这个定理，我们可以发现，只要判断出两个平面的法向量的指向，就可以直接的知道法向量的夹角和二面角用心 爱心 专心是相等还是互补，进而求出二面角的大小，而不需要通过直观估计二面角是钝角还是锐角。例题 1 在正方体中，二面角的大小为 解：如图 3，，所以以直线的方向向量分别为和法向量，分别令，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 即向量的夹角为 600，由于的指向都是向着二面角外，所以二面角与向量的夹角互补，所以二面角的大小为 1200例题 2 如图 4，，求二面角的大小。用心 爱心 专心xyzB1C1D1A1BCAD x y zPACB4图图 4解：建立如图所示空间直角坐标系，则，设面的法向量，同理可得面的法向量（下面确定向量的指向）把向量的起点都放在点，不难发现向量指向二面角的内部，向量指向二面角的外部，根据前面的定理知道向量的夹角和二面角相等。记二面角的大小为，，即二面角的大小为由这两个例题可以发现，如果仅仅依靠直观估计（定性的角度）来判断二面角是钝角还是锐角并不容易，利用法向量的指向可以从计算的角度（定量的角度）来解决这个问题，使得心里更加的踏实。用心 爱心 专心通讯地址：江苏省盐城市旭日路 4 号（224000）电子邮箱：hxz0120@163.com用心 爱心 专心
