吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 平面向量的数量积及应用(2)导学案 文知识梳理:(请同学们阅读必修四 103 页—108 页)1. 平面向量的夹角及表示:(1).平面向量的夹角的定义 (2).范围: 表示方法: 当夹角为 0 或 时,则称 a 与 b ,记作: ; 当夹角为 9时,则称 a 与 b ,记作: ;2.向量的数量积定义:3.数量积几何意义与投影的概念:4.数量积的性质:设 a 与 b 是非零向量,e 是单位向量, 是 a 与 e 的夹角,则① = ; ② ab 时 , ab ③同 向 量 , ④反向量, ⑤| =特别地: =++2a b =+-2a b (a+b) (a-b)=-⑥ 数量积的运算律: 交换律: ;结合律: ;分配律: ⑦ 数量积的坐标运算: ;⑧ 两向量垂直叛定: ;⑨ 两向量夹角公式: ;⑩ 向量的模及两点间的距离: ;二、题型探究探究一:平面向量的数量积运算例 1:已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角为 12,求:- ;(2a-b) (a+3b)(答案:-10;21;9;-48)探究二、数量积的综合应用例 2:已知向量和的夹角是 120°,且,,则= 例 3:已知平面上三个向量、、的模均为 1,它们相互之间的夹角均为120°,(1)求证:⊥;(2)若,求的取值范围.解:(1)∵ ,且、、之间的夹角均为 120°, ∴ ∴ (2)∵ ,即 也就是∵ ,∴ 所以 或.例 4:已知: 、、是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2)(1)若||,且,求的坐标;(2)若||=且与垂直,求与的夹角.解:(1)设,由和可得: ∴ 或 ∴,或 (2) 即∴ , 所以 ∴ ∵ ∴ . 三、方法提升运用向是的数量积可以解决有关长度、角度等问题,也可以解决有关向量位置关系问题。四、反思感悟 五、课时训练:1.已知向量,向量则的最大值,最小值分别是(D)16,04,02.平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,,若点满足, 其 中, 且, 则 点的 轨 迹 方 程 为 : (D ) 3 . 已 知 向 量,, 那 么的 值 是 ( D ) 14.在中,,的面积是,若,,则(D ) 5.已知为原点,点的坐标分别为,,其中常数,点在 线 段上 , 且 有, 则的 最 大 值 为 ( D ) 6.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,则的值等于 (A )2 4 87.设是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①; ② ③不与垂直 ④中,是真命题的有 ( D )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④8.设为平面上四个点,,,,且,=,则=___________________。39 . 若 对个 向 量存 在个 不 全 为 零 的 实 数, 使 得成立,则称向量为“线性相关”.依此规定, 能说明,,“线性相关”的实数依次可以取 ;(写出一组数值即可,不必考虑所有情况).(-4,2,1)10.向量都是非零向量,且,求向量与的夹角.解: = , ,( ,)