四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 2224()24bbacxaa． ①因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝242bbaca；（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－ 2ba ；（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们把b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝242bbaca；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 2ba ；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根．例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式 Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax， 2242aax．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，① 当 a＝2 时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；② 当 a≠2 时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以① 当 Δ＞0，即 4(1－a) ＞0，即 a＜1 时，方程有两个不相等的实数根用心 爱心 专心1 111xa ， 211xa ； ② 当 Δ＝0，即 a＝1 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③ 当 Δ＜0，即 a＞1 时，方程没有实数根．说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．练习：1.解下列方程： （1）221360xx （2）24410xx （3）23570xx2.解关于 x 的方程：2210mxx 用心 爱心 专心2
