四川省古蔺县中学高中数学必修三：1.3.1 辗转相除法与更相减损术【教学目标】：（1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 （2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。【教学重点】理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。【教学过程】提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，如口算求出 12 与 20 的公约数。分析：我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求 8251 与 6105 的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。辗转相除法例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。分析：8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，可以把它们都变小一点，根据已有的 知识即可求出最大公约数8251＝6105×1＋2146显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数，所以8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37 为 8251 与6105 的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300 年 左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）：用较大的数 m 除以较小的数 n得到一个商和一个余数；（2）：若＝0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若≠0，则用除数 n 除以余数得到一个商和一个余数；（3）：若＝0，则为 m，n 的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数。其程序框图见课本其程序语言（BASIC）如下：INPUT “m=”;mINPUT “n=”;nIF m MOD n=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r<>0 r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND学生利用 TI-voyage200 图形计算器操作：（老师现场指导）输入不同的 m、n 都 可以算出它们的最大公约数。这下子，学生会感到自己变得神通广大了。利用 TI-voyage200 图形计算器更能培养学生的动手操作能力，并让他们获得完成程序后的成功感！更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求...
