四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 根与系数的关系VIP专享

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 根与系数的关系 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 2142bbacxa，2242bbacxa，则有 2212442222bbacbbacbbxxaaaa； 2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于 x1，x2是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例 2 已知方程2560xkx的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值．解法一： 2 是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－35 ．所以，方程的另一个根为－35 ，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－65 ，∴x1＝－35 ．由 （－35 ）＋2＝－ 5k，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－35 ，k 的值为－7．例 3 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方用心 爱心 专心1程，从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0， 解...