四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 几种特殊的三角形

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上.例 5 在 ABC中，3,2.ABACBC求（1） ABC的面积ABCS及 AC 边上的高 BE ；（2） ABC的内切圆的半径r ；（3） ABC的外接圆的半径 R .解 （1）如图，作 ADBC于 D .,ABACD为 BC 的中点，222 2,12 2 22 2.2ABCADABBDS  又1,2ABCSAC BE解得4 23BE . （2）如图， I 为内心，则 I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ， ABCIABIBCIACSSSS，即1112 2222AB rBC rCA r  ，解得22r .（3）ABC是等腰三角形，外心O 在 AD 上，连 BO ，则 Rt OBD中，,ODADR222,OBBDOD222(2 2)1 ,RR解得9 2 .8R 用心 爱心 专心1在直角三角形 ABC 中， AÐ为直角，垂心为直角顶点 A， 外心 O 为斜边 BC 的中点，内心 I 在三角形的内部，且内切圆的半径为2bca+ -（其中 , ,a b c 分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长），为什么？ 该 直 角 三 角 形 的 三 边 长 满 足 勾 股 定 理 ：222ACABBC+=.例 6 如图，在ABCV中，AB=AC，P 为 BC 上任意一点.求证：22APABPB PC=-×.证明：过 A 作 ADBC^于 D.在 RtABDV中，222ADABBD=-.在 RtAPDV中，222APADDP=-.22222()().APABBDDPABBDDP BDDP\=-+=-+-,,ABAC ADBCBDDC=^\=Q.BDDPCDDPPC\-=-=.22APABPB PC\=-×.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形 ABC 和点 P，设点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形 ABC 的高为 h ，“若点 P 在一边 BC 上，此时30h =，可得结论：123hhhh++=.”请直接应用以上信息解决下列问题：用心 爱心 专心2图 3.2-15当（1）点 P 在ABCV内（如图 b），（2）点在ABCV外(如图 c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解 （1）当点 P 在ABCV内时，法 一 如 图 ， 过 P 作''B C分 别 交,,AB AM AC 于',','B M C ，由题设知'AMPDPE=+，而'AMAMPF=-，故...