四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 三角形的 四心三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图 1 ，在三角形ABCV中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,ABCÐÐÐ，三个顶点, ,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1.已知 D、E、F 分别为ABCV三边 BC、CA、AB 的中点，求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.证明 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G，QD、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE//AB，且12DEAB=，GDE\ V∽ GABV，且相似比为 1：2，2,2AGGD BGGE\==.设 AD、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AGG D CGG F==则G 与'G 重合，\ AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 例 2 已知ABCV的三边长分别为,,BCa ACb ABc===，I 为ABCV的内心，且 I 在ABCV的 边 BCACAB、、上 的 射 影 分 别 为 DEF、 、， 求 证 ：2bcaAEAF+ -==.证明 作ABCV的内切圆，则 DEF、 、分别为内切圆在用心 爱心 专心1图 2图 1三边上的切点，,AE AFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF\=，同理，BD=BF，CD=CE.22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE\+ -=+++--=+==即2bcaAEAF+ -==.例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心.求证 三角形 ABC 为等边三角形.证明 如图，连 AO 并延长交 BC 于 D.QO 为三角形的内心，故 AD 平分BACÐ，ABBDACDC\=（角平分线性质定理）QO 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即 BD=DC.1ABAC\=，即 ABAC=.同理可得，AB=BC.ABC\ V为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图） 例 4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABCV中，,ADBCD BEACE^^于于 ，AD 与BE 交于 H 点.用心 爱心 专心2求证 CHAB^.证明 以 CH 为直径作圆，,,90 ,oADBC BEACHDCHEC^^\ ...
