课时分层作业四十六空间直角坐标系、空间向量及其运算一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·深圳模拟)已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于()A.(b+c-a)B.(a+b+c)C.(a-b+c)D.(c-a-b)【解析】选D.=++=(c-a-b).2.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+λ与的夹角为120°,则λ的值为()A.±B.C.-D.±【解析】选C.+λ=(1,-λ,λ),cos120°==-,得λ=±.经检验λ=不合题意,舍去,所以λ=-.【误区警示】这里夹角为120°,λ的值为负,λ=必须舍去.3.(2018·长沙模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A.B.C.D.【解析】选D.由题意设c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以所以4.在空间四边形ABCD中,·+·+·的值为()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=·(-)+·(-)+·(-)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.【一题多解】选A.如图,在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,则正四面体的对棱互相垂直.所以·=0,·=0,·=0.所以·+·+·=0.【变式备选】1.空间四边形OABC中,边长AC=BC,OA=3,OB=1,则向量·的值为()A.-4B.-3C.-1D.-2【解析】选A.取AB的中点D,连接CD,OD.则由AC=BC,得CD⊥AB,即有·=0,·=·(+)=·+·=·=(-)·(+)=(-)=×(12-32)=-4.2.已知四边形ABCD满足:·>0,·>0,·>0,·>0,则该四边形为()A.平行四边形B.梯形C.长方形D.空间四边形【解析】选D.由·>0,·>0,·>0,·>0,知该四边形一定不是平面图形.5.已知线段AB,BD在平面α内,且AB⊥BD,线段CD⊥α,AB=3,BD=4,CD=5,则AC间的距离是()A.4B.5C.5D.6【解析】选C.++=,因为CD⊥α,则CD⊥AB,CD⊥DB,且已知AB⊥BD,故=(++)2=+++2·+2·+2·=50,所以=5.【变式备选】已知二面角α-l-β等于120°,A,B是棱l上两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于()A.B.C.2D.【解析】选C.依题意可知,二面角α-l-β的大小等于与所成的角,因为=++,所以=+++2·+2·+2·,因为AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=1,所以=1+1+1+2·=3+2·||cos<,>=3+2cos<,>.因为<,>=120°,所以<,>=60°,因此=3+2×=4,所以=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为________.【解析】因为AC⊥l,BD⊥l,所以<,>=60°,且·=0,·=0,所以=++,所以||===2a.答案:2a7.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(++)2=3;②·(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________.【解析】①中(++)2=++=3,故①正确;②中-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确;④中|··|=0,故④也不正确.答案:①②8.已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=,若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0=________,y0=________,|b|=________.【解析】问题等价于|b-(xe1+ye2)|当且仅当x=x0,y=y0时取到最小值1,左边平方即|b|2+x2+y2-4x-5y+xy,在x=x0,y=y0时取到最小值1,|b|2+x2+y2-4x-5y+xy=x2+(y-4)x+y2-5y+|b|2=+(y-2)2-7+|b|2,所以解得答案:122【变式备选】已知P(3cosα,3sinα,1)和Q(2cosβ,2sinβ,1),则||的取值范围是()A.[1,5]B.(1,5)C.[0,5]D.[0,25]【解析】选A.因为P(3cosα,3sinα,1)和Q(2cosβ,2sinβ,1),所以||===,因为cos(α-β)∈[-1,1],所以||的取值范围是[1,5].三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以,为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos<,>====,所以sin<,>=,所以以,为边的平行四边形的面积:S=2×||||sin<,>=14×=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得或所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).10.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D.(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.【解析】(1)设=a,=b,=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,所以=b+c,=-c+b-a.所以...
