山东省招远市第二中学高一数学《311 方程的根与函数的零点》导学案

山东省招远市第二中学高一数学《311 方程的根与函数的零点》导学案 学习目标1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方法． 自学导引1．对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．2．函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．3．方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．4．函数零点的存在性的判定方法：如果函数 y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)< 0，那么 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0 的根. 一、求函数的零点例 1 求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1；(3)f(x)＝x3－4x.解 (1)由于 f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．所以方程－x2－2x＋3＝0 的两根是－3,1.故函数的零点是－3,1.(2)由于 f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，所以方程 x4－1＝0 的实数根是－1,1，故函数的零点是－1,1.(3)令 f(x)＝0，即 x3－4x＝0，∴x(x2－4)＝0，即 x(x＋2)(x－2)＝0.解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，所以函数 f(x)＝x3－4x 有 3 个零点，分别是：－2,0,2.点评 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移 1 若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的零点是 2 和－4，求 a，b 的值．解 2，－4 是函数 f(x)的零点．∴f(2)＝0，f(－4)＝0.即，解得.二、判断函数在某个区间内是否有零点例 2 (1)函数 f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )A．(1,2) B．(2,3)C.和(3,4) D．(e，＋∞)(2)f(x)＝lnx－在 x>0 上共有________个零点．分析 由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间．解答本题可从已知区间求 f(a)和 f(b)，判断是否有 f(a)·f(b)<0，且注意该函数在定义域上为增函数．答案 (1)B (2) 1解析 (1) f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，∴在(1,2)内 f(x)无零点，A 不对；又 f(3)＝ln3－>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有一个零点．(2) f(x)＝lnx－在 x>0 上是增函数，故 f(...