高三数学（理）一轮复习 教案 第九编 解析几何总第 50 期§9.8 抛物线基础自测1.设 a≠0,a∈R，则抛物线 y=4ax2的焦点坐标为 .答案 2.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆+=1 的右焦点重合，则 p 的值为 .答案 43.抛物线 y2=24ax(a＞0)上有一点 M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为 .答案 y2=8x4.（2008·重庆文）若双曲线=1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为 .答案 45.（2008·全国Ⅱ文，15）已知 F 是抛物线 C：y2=4x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点为 M（2，2），则△ABF 的面积等于 .答案 2例题精讲 例 1 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标.解 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x，得 y=±. ＞2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上点 P 到准线 l：x=-的距离为 d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当 PA⊥l 时，|PA|+d 最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2=2x，得 x=2，∴点 P 坐标为（2，2）.例 2 已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 A（m,-3）到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值，并写出此抛物线的方程.解 ①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 x2=-2py(p＞0)，这时准线方程为 y=,由抛物线定义知-(-3)=5,解得 p=4,∴抛物线方程为 x2=-8y,这时将点 A（m,-3）代入方程，得 m=±2.② 若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为 y2=2ax (a≠0)，从 p=|a|知准线方用心 爱心 专心318程可统一成 x=-的形式，于是从题设有，解此方程组可得四组解,,，.∴y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；y2=18x,m=；y2=-18x,m=-.例 3 （2008·山东理，22 改编）如图所示,设抛物线方程为 x2=2py (p＞0),M 为直线 y=-2p上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B.(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.(1)证明 由题意设 A,B,x1＜x2, M.由 x2=2py 得 y=,则 y′=,所以 kMA=,kMB=.因此,直线 MA 的方程为 y+2p=(x-x0),直线 MB 的方程为 y+2p=(x-x0).所以,+2 p = (x1-x0),①px222 +2 p =(x2-x0).②由①、②得=，因此，x0=，即 2x0=.所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. （2）...
